Medida de la relación carga/masa: trayectoria circular

En 1897, Joseph John Thomson realizó un experimento que demostró la existencia de partículas subatómicas cargadas, los electrones. Para ello utilizó un tubo de rayos catódicos, un recipiente en el que se ha hecho el vacío y en el cual se dispone de dos terminales (ánodo y cátodo) entre los que se aplica una diferencia de potencial. De este modo, es posible extraer electrones del cátodo, que se dirigen hacia el ánodo. Si se realiza una perforación en éste, se obtine un haz delgado de electrones cuya velocidad depende del potencial aplicado entre cátodo y ánodo, el potencial de aceleración, \(U_A\).

Aplicando campos eléctricos o magnéticos a ese haz de electrones (siempre en un tubo en el que se haya hecho el vacío) es posible obtener la relación entre la carga y la masa de los electrones, o relación \(e/m\).

Supongamos que un electrón se mueve con velocidad constante \(\overrightarrow{v}\), y que se encuentra sometido a la acción de un campo magnético perpendicular \(\overrightarrow{B}\). En ese caso, el electrón, al ser una partícula cargada, experimental una fuerza de Lorentz, que viene dada por:

$$\overrightarrow{F}_L = -e \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B}$$

Siendo \(e\) la carga del electrón. La fuerza de Lorentz, al ser siempre perpendicular a la velocidad, produce un movimiento circular en el electrón, como se muestra en la imagen:

Dado que se sigue una trayectoria circular, si igualamos en módulo la fuerza de Lorentz a la fuerza centrípeta tendremos:

$$e |\overrightarrow{v}||\overrightarrow{B}| = m \frac{|\overrightarrow{v}|^2}{r}$$

Siendo \(m\) la masa del electrón y \(r\) el radio de la trayectoria circular seguida. Despejando tendremos:

$$\frac{e}{m} = \frac{|\overrightarrow{v}|}{r |\overrightarrow{B}|}$$

Es decir, conociendo la velocidad de la partícula, el radio de la trayectoria y el campo aplicado es posible conocer la relación carga/masa del electrón. La velocidad del electrón puede determinarse con un filtro de velocidades, pero si conocemos el potencial de aceleración entre ánodo y cátodo, es posible también determinarla. Si el electrón ha sido acelerado previamente por el ánodo con una diferencia de potencial \(U_A\), su velocidad vendrá dada por:

$$e U_A = \frac{1}{2} m |\overrightarrow{v}|^2 \rightarrow |\overrightarrow{v}| = \sqrt{2 \frac{e}{m} U_A}$$

Si combinamos esta expresión con la anterior obtenida para la relación carga/masa, llegamos a:

$$\frac{e}{m} = \frac{2 U_A}{(r |\overrightarrow{B}|)^2}$$

En la página medida de la relación carga/masa: deflexión eléctrica se muestra otra opción alternativa para calcular la relación carga/masa.

Montaje

Para medir la relación carga masa a partir de la trayectoria circular del electrón, en el laboratorio se dispone el siguiente montaje:

En el interior de una campana de vidrio en la que se ha hecho el vacío, se dispone de un ánodo y un cátodo, entre los que podemos aplicar una diferencia de potencial \(U_A\), generando un haz de electrones (rayo catódico). El haz de electrones puede verse porque en el interior del tubo se introduce una pequeña cantidad de Helio (no se trata por tanto de un vacío perfecto), que al interactuar con los electrones produce una luminosidad de color verdoso que nos vermite ver el haz.

Para aplicar el campo magnético, se dispone de dos bobinas, llamadas bobinas de Helmoltz. Al circular corriente por dichas bobinas, se genera un campo magnético perpendicular al plano de las mismas, que desvía la trayectoria del haz de electrones. Midiendo el radio de la trayectoria es posible obtener el valor de la relación carga/masa.

Las bobinas de Helmholtz tienen una característica particular, y es que el radio de las mismas es igual a la distancia de separación entre ellas. Con estas condiciones, es posible obtener el valor del campo magnético a partir de la corriente \(I_H\) que circula por ellas:

$$|\overrightarrow{B}| = \left(\frac{4}{5}\right)^{3/2} \mu_0 \frac{N}{R}I_H$$

Siendo \(\mu_0\) la permeabilidad magnética del vacío (\(4 \pi 10^{-7}\) H/m), \(N\) es el número de vueltas de las bobinas y \(R\) el radio de las bobinas.

El procedimiento experimental de medida puede verse en el siguiente vídeo:

Medida experimental de la relación carga/masa

Procedimiento y medidas

En el siguiente vídeo se explica el procedimiento de medida con el gráfico interactivo:

Procedimiento de medida con el gráfico interactivo

En el gráfico interactivo se muestra un tubo de rayos catódicos, con su cátodo y ánodo, y dos controles, para regular el valor de \(U_A\) (voltaje de aceleración) y \(I_H\) (corriente que circula por las bobinas). En primer lugar aplicaremos un voltaje de aceleración y veremos cómo aparece un haz de electrones que sigue una trayectoria recta.

A continuación, al aplicar una corriente en las bobinas, observaremos cómo el haz de electrones se curva y sigue una trayectoria circular. A partir de la escala del gráfico es posible obtener la medida del radio, y con este (una vez determinado el campo magnético a partir de la corriente) determinaremos la relación entre la carga y la masa del electrón.

• \(U_{A}\) (V)

• \(I_H\) (A)