Semiconductores

Efecto Hall en semiconductores

Supongamos que disponemos de una muestra de semiconductor extrínseco con longitud \(L\) y sección \(S = w \cdot z\), siendo \(w\) y \(z\) la altura y la anchura de la muestra, respectivamente. Si por esta muestra circula una corriente \(I\), y simultáneamente aplicamos un campo magnético \(B\) perpendicular al movimiento de los portadores, aparecerá una diferencia de potencial entre las caras del semiconductor situadas en la dirección perpendicular tanto a \(I\) como a \(B\). Este fenómeno es el que conocemos como efecto Hall, cuya descripción cualitativa se puede ver en el siguiente vídeo:

El efecto Hall en semiconductores

Veamos con más detalle el fundamento teórico detrás del efecto Hall. En primer lugar, consideremos una muestra semiconductora, en cuyo interior va a haber dos tipos de portadores de carga, electrones y huecos. Si aplicamos un potencial entre extremos de la muestra, el campo eléctrico que aparece en el interior del material ejerce una fuerza sobre estos portadores, produciendo su movimiento en direcciones opuestas debido a la diferente carga (negativa para electrones, positiva para huecos) que presentan. Esta fuerza viene dada por la expresión \(F = \pm q\cdot E\)

Bajo la acción de esta fuerza, los portadores sufren una combinación de vuelos libres (sometidos a la aceleración del campo) y colisiones con átomos e impurezas. El resultado de estos dos tipos de eventos es una velocidad promedio, la velocidad de deriva, que, para campos no demasiado elevados, es proporcional al campo aplicado:

$$|\overrightarrow{v_n}| = \mu_n |\overrightarrow{E}|$$ $$|\overrightarrow{v_p}| = \mu_p |\overrightarrow{E}|$$

donde \(\overrightarrow{v_n}\) y \(\overrightarrow{v_p}\) son las velocidades de deriva de electrones y huecos, respectivamente, \(\mu_n\) y \(\mu_p\) las movilidades. El resultado de este movimiento es la aparición de una corriente \(I\), que llamaremos corriente de arrastre. Esta corriente de arrastre se calcula como:

$$ I = -q n v_n S + q p v_p S = q n \mu_n E S + q p \mu_p E S = \sigma E S $$

siendo \(\sigma = q n \mu_n + q p \mu_p\) la conductividad de la muestra (que se mide en \((\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1}\)), \(n\) la concentración de electrones y \(p\) la concentración de huecos.

para el caso de un semiconductor dopado tipo n la conductividad se reduce a \(\sigma_n = q N_D \mu_n\) y para una muestra tipo p a \(\sigma_p = q N_A \mu_p\), siendo \(N_D\) y \(N_A\) la concentración de impurezas donadoras y aceptadoras, respectivamente, según corresponda.

A continuación, aplicamos un campo eléctrico perpendicular a la corriente, en la dirección que apunta hacia el interior de la pantalla, tal y como se indica en la figura:

El campo magnético, al actuar sobre partículas en movimiento, producirá en estas la llamada fuerza de Lorentz, en la que debemos tener en cuenta el signo de la carga del portador correspondiente:

$$\overrightarrow{F_L} = \pm q \times \overrightarrow{v}$$

Esta fuerza empujará a los portadores en la dirección perpendicar a ambos campos (eléctrico y magnético), provocando una acumulación de los mismos en la cara superior del semiconductor (para los sentidos de los campos indicados en la figura), quedando la cara inferior con carga opuesta por defecto de los portadores que se han alejado de dicha zona. Según tengamos un semiconductor de tipo n o de tipo p tendremos dos situaciones diferentes, como se muestra a continuación:

La diferencia de carga entre las caras inferior y superior provoca la aparición de una diferencia de potencial (voltaje Hall, \(V_{HALL}\)) que a su vez induce un campo \(E_{HALL}\) cuyo efecto es contrarrestar la fuerza de Lorentz, hasta equilibrarla. Este voltaje Hall puede medirse fácilmente con un multímetro, y su signo dependerá, fundamentalmente, del tipo de semiconductor (n o p) y de las orientaciones de los campos eléctrico y magnético aplicados.

Igualando las fuerzas de Lorentz y la fuerza ejercida por el campo Hall, es posible llegar a la siguiente expresión para \(V_{HALL}\):

$$V_{HALL} = \frac{R_H I B}{z}$$

siendo \(R_H\) el coeficiente Hall, que es igual a \(-\frac{1}{q n}\) o a \(\frac{1}{q p}\), dependiendo del tipo de dopaje que tenga el semiconductor. El coeficiente Hall, la movilidad y la conductividad se relacionan de la forma:

$$\mu_n = -R_H \sigma_n$$ $$\mu_p = R_H \sigma_p$$

Por tanto, conocida la conductividad de una determinada muestra semiconductora dopada, es posible determinar su tipo de dopaje, su concentración de impurezas y su movilidad midiendo de manera adecuada del voltaje Hall.

Montaje

En el laboratorio se puede realizar la experiencia del efecto Hall mediante el montaje mostrado en la figura, en el que disponemos de los siguiente componentes

  1. Un electroimán con su correspondiente fuente de alimentación para generar el campo magnético
  2. Un teslámetro para medir la intensidad de dicho campo magnético
  3. Un módulo en el que se coloca la muestra semiconductora (de dimensiones conocidas) y que nos permite regular la corriente que circula por ella en la dirección horizontal
  4. Un multímetro para medir voltajes, tanto en la dirección horizontal como en la dirección vertical

En el siguiente vídeo se muestra el proceso experimental de medida con el montaje del laboratorio:

Medida experimental del voltaje Hall

Procedimiento y medidas

En el siguiente vídeo se explica el procedimiento de medida con el gráfico interactivo:

Procedimiento de medida con el gráfico interactivo

Para realizar las medidas interactivas vamos a trabajar en dos pasos. En primer lugar, seleccionaremos una de las cuatro muestras (A, B, C o D) en el desplegable correspondiente, y en el desplegable correspondiente al tipo de medida elegiremos "Conductividad". Seguidamente variaremos con el control rotatorio el valor de corriente. Anotaremos los diferentes valores de voltaje obtenidos entre extremos de la muestra (en este caso corresponden a la dirección horizontal) y representaremos gráficamente los resultados, obteniendo a partir de la pendiente de la curva la resistencia \(R\) de la muestra, que se relaciona con la conductividad mediante:

$$R = \frac{1}{\sigma} \frac{L}{w \cdot z}$$

siendo \(L\) (longitud) = 20 mm, \(w\) (altura) = 10 mm y \(z\) (anchura) = 1 mm.

Obtenido el valor de conductividad, seleccionaremos en el desplegable de tipo de medida "Voltaje Hall" y realizaremos dos conjuntos de medidas. En primer lugar, fijaremos el valor de corriente (por ejemplo, 20 mA) y variaremos el campo magnético, anotando los valores de voltaje Hall obtenidos. En segundo lugar, fijaremos el valor de campo magnético (por ejemplo, 300 mT) y variaremos la corriente.

Los resultados de ambas medidas los representaremos gráficamente (en un caso \(V_{HALL}\) frente a \(B\) y en otro \(V_{HALL}\) frente a \(I\)), y a partir de la pendiente obtendremos el coeficiente Hall \(R_H\). Con este coeficiente determinaremos el tipo de dopaje y su concentración, y junto con el valor de la conductividad previamente obtenido, su movilidad.