Semiconductor intrínseco (II)

La expresión de la concentración intrínseca de portadores en un semiconductor y su dependencia con la temperatura ya la hemos visto en este enlace. Vamos a ver más detalles acerca de esta concentración y su origen en un semiconductor puro.

En un sólido, la distribución de Fermi-Dirac nos dice cuál es la probabilidad de que un estado energético de energía \(\varepsilon\) esté ocupado por un electrón (en equilibrio térmico):

$$f(\varepsilon) = \frac{1}{1+\exp\left(\frac{\varepsilon-\varepsilon_F}{k_B T}\right)}$$

siendo \(\varepsilon_F\) la energía o nivel de Fermi (que corresponde a la energía para la cual la probabilidad de ocupación es exactamente igual a 0.5), \(k_B\) la constante de Boltzmann y \(T\) la temperatura (en kelvin). Así, para cada energía \(\varepsilon\), \(f(\varepsilon)\) nos indica qué probabilidad hay de que ese nivel energético esté ocupado en el sólido, mientras que \(1-f(\varepsilon)\) nos dirá la probabilidad de que esté vacío (o, si se quiere, que esté ocupado por un hueco).

En esta gráfica podemos ver el efecto de variar la temperatura en la función de distribución de Fermi-Dirac, que puede variarse con el deslizador. También puede cambiarse el valor del nivel de Fermi. Junto con la curva correspondiente a \(f(\varepsilon)\), se muestra la correspondiente a \(1-f(\varepsilon)\). También se destaca el punto con valor \(f(\varepsilon)=0.5\), correspondiente al nivel de Fermi.

• Temperatura (K)

• \(\varepsilon_{F}\) (\(eV\))

La probabilidad de ocupación es importante, pero por sí sola no determina el número de portadores que tendremos en un semiconductor. Igualmente importante es la densidad de estados \(N(\varepsilon)\), que nos indica el número de estados permitidos para una cierta energía por unidad de volumen, y que viene dada por la expresión: $$N(\varepsilon) = 4\pi \left(\frac{2m_{e,h}}{h^2}\right)^{3/2}\varepsilon^{1/2}$$

donde \(m_e\) es la masa efectiva de los electrones en la banda de conducción, y \(m_h\) la de los huecos en la banda de valencia, siendo \(h\) la constante de Planck. A partir de la densidad de estados, es posible obtener las concentraciones de electrones (\(n\)) y de huecos (\(p\)) de la siguiente manera: $$n = \int_{\varepsilon_C}^{\infty} f(\varepsilon) N(\varepsilon) d\varepsilon$$ $$p = \int_{-\infty}^{\varepsilon_V} (1-f(\varepsilon)) N(\varepsilon) d\varepsilon$$

donde \(\varepsilon_C\) y \(\varepsilon_V\) representan el mínimo de la banda de conducción y el máximo de la banda de valencia, respectivamente. La diferencia entre ambas (\(\varepsilon_C\)-\(\varepsilon_V\)) es igual al valor del gap \(\varepsilon_{gap}\). En el caso particular en el que la diferencia entre la energía \(\varepsilon\) y el nivel de Fermi \(\varepsilon_F\) sea superior en módulo a \(3k_BT\), la función de distribución de Fermi-Dirac puede simplificarse a: $$f(\varepsilon) \approx \exp\left(-\frac{\varepsilon-\varepsilon_F}{k_BT}\right)$$ si \((\varepsilon - \varepsilon_F) \gt 3k_BT\), y: $$f(\varepsilon) \approx 1-\exp\left(\frac{\varepsilon-\varepsilon_F}{k_BT}\right)$$ si \((\varepsilon - \varepsilon_F) \lt -3k_BT\).

Teniendo en cuenta estas aproximaciones (y que en un semiconductor intrínseco las condiciones respecto a las diferencias entre las energías en las bandas de conducción y valencia y el nivel de Fermi se cumplen), las concentraciones de electrones y huecos quedan de la forma: $$n = N_C\exp\left(-\frac{\varepsilon_C-\varepsilon_F}{k_BT}\right)$$ $$p = N_V\exp\left(-\frac{\varepsilon_F-\varepsilon_V}{k_BT}\right)$$

donde \(N_C\) y \(N_V\) son las densidades efectivas de estados en la banda de conducción y en la banda de valencia, respectivamente, que corresponden por definición a: $$N_C \equiv 2\left(\frac{2\pi m_e k_B T}{h^2}\right)^{3/2}$$ $$N_V \equiv 2\left(\frac{2\pi m_h k_B T}{h^2}\right)^{3/2}$$

A partir de estas expresiones, se puede obtener la concentración intrínseca teniendo en cuenta la ley de acción de masas: $$n \cdot p = n_i^2 $$

y por tanto \(n_i\) queda: $$n_i = \sqrt{n\cdot p} = \sqrt{N_C \exp\left(-\frac{\varepsilon_C-\varepsilon_F}{k_BT}\right)N_V\exp\left(-\frac{\varepsilon_F-\varepsilon_V}{k_BT}\right)} = \sqrt{N_C N_V} \exp\left(-\frac{\varepsilon_{gap}}{2k_BT}\right)$$

Si incorporamos las expresiones de \(N_C\) y \(N_V\) obtenidas con anterioridad y definimos la constante \(A_0\) como: $$A_0 = 2\left(\frac{2\pi k_b}{h^2}\right)^{3/2}(m_em_h)^{3/4}$$

llegamos a la expresión de la concentración intrínseca que ya vimos en este enlace: $$n_i = A_0 T^{3/2}\exp\left(-\frac{\varepsilon_{gap}}{2 k_B T}\right)$$

Por otra parte, hay que tener en cuenta que el nivel de Fermi de un semiconductor intrínseco tiene una dependencia con la temperatura de la siguiente forma (esta expresión se obtiene igualando \(n\) y \(p\) en las expresiones obtenidas anteriormente): $$\varepsilon_F = \frac{\varepsilon_C+\varepsilon_V}{2}+\frac{k_BT}{2}\ln\left(\frac{N_V}{N_C}\right)$$

Teniendo en cuenta estos resultados, en el siguiente gráfico interactivo se muestra la densidad de estados en función de la energía, la función de distribución de Fermi-Dirac y la concentración de portadores dependiente de la energía para el caso del semiconductor más común, el silicio. El control deslizador permite variar la temperatura y ver el efecto que tiene este parámetro sobre la concentración de electrones y huecos y su distribución energética. Para optimizar la visualización, se han empleado unidades arbitrarias para \(N(\varepsilon)\), \(n(\varepsilon)\) y \(p(\varepsilon)\). El valor de energía igual a 0 corresponde al fondo de la banda de conducción (\(\varepsilon_C\)).

• Temperatura (K)