Semiconductores
Medida del gap de un semiconductor
Objetivo y fundamento teórico
El objetivo es determinar el valor de la banda prohibida (gap) de una muestra semiconductora intrínseca, por medio de la medida de la resistencia en función de la temperatura (usando con un termopar Cu/CuNi) a partir del potencial aplicado entre sus extremos y la corriente que circula por ella, medidos con un voltímetro y un amperímetro respectivamente.
Si al aplicar un voltaje hacemos circular una corriente eléctrica a través de un trozo de semiconductor de superficie transversal y longitud conocidas, la resistencia puede calcularse de la siguiente forma
$$R(T) = \frac{V(T)}{I(T)} = \frac{L}{A\sigma} = \frac{L}{Aqn_{i}(\mu_{n}+\mu_{p})} = \frac{L}{Aq(\mu_{n}+\mu_{p})\sqrt{(N_{c}(T)N_{v}(T))}}e^{GAP/(2k_{B}T)}, $$ donde la resistencia en función de la temperatura la podemos expresar como $$R(T) = R_{0}(\frac{T_{0}}{T})^{3/2}e^{GAP/(2k_{B}T)},$$ siendo $$ R_{0}=\frac{L}{Aq(\mu_{n}+\mu_{p})\sqrt{(N_{c}(T_{0})N_{v}(T_{0}))}}. $$ Si despreciamos la dependencia con la temperatura de \(N_{c}\) y \(N_{v}\), es decir, despreciamos el término \((\frac{T_{0}}{T})^{3/2}\), podemos representar el logaritmo neperiano de la resistencia \(Ln[R(T)]\) en función de \(1/T=x\) de forma que obtendremos una línea recta $$Ln[R(T)] = Ln[R_0] + \frac{GAP}{2k_{B}T} = a + b_{1}x,$$ de cuya pendiente, \(b_{1}\), podemos calcular el GAP.Sin embargo, al tener en cuenta la dependencia con la temperatura de las densidades equivalentes de estados tendremos que $$Ln[R(T)] - \frac{3}{2}Ln[\frac{T_0}{T}] = Ln[R_0] + \frac{GAP}{2k_{B}T} = a + b_{2}x,$$ de donde obtendremos un segundo valor para el GAP al realizar el ajuste lineal y obtener la pendiente \(b_{2}\).
Montaje
Disponemos de una muestra semiconductora (el pequeño rectángulo de color plateado situado en medio de la placa), colocada en una placa que incorpora una resistencia en la cara posterior para aumentar la temperatura de la muestra. Esta resistencia está alimentada por una fuente de alimentación alterna variable que se puede conmutar mediante las conexiones en círculo que se pueden ver en la parte derecha del aparato. En nuestro caso, en la simulación interactiva la temperatura ira variando progresivamente. En el caso real para efectuar las medidas se dispone de un termopar que permite conocer la temperatura del semiconductor. Atención a las unidades proporcionadas en grados centígrados, que deberemos convertir posteriormente a Kelvin. La fuente de alimentación proporciona la diferencia de potencial DC, \(V_{DD}\), entre extremos de la muestra. Por último, se dispone de dos multímetros, uno configurado como voltímetro y otro como amperímetro, para la medida del voltaje y corriente respectivamente. Con el fin de limitar la corriente que circula por la muestra se coloca una resistencia en serie, \(R_D\).
Procedimiento y medidas
Para realizar las medidas interactivas, la temperatura de la muestra ira variando lentamente desde 30 ºC hasta 130 ºC. En el caso real, para evitar problemas de inercia térmica se toman dos valores para cada temperatura, uno en fase de aumento y otro al reducir la temperatura. En la animación, es posible tomar varios valores para cada temperatura si se desea. Simultáneamente, tomaremos los datos de la corriente que circula (valores del amperímetro) y de la diferencia de potencial que cae entre extremos de la muestra (valores del voltímetro). Atención a las unidades. Con los valores de \(I\) y \(V\) medidos, calcularemos \(R\) para cada temperatura (haciendo la media si se han tomado más de un valor para cada temperatura), y calcularemos el logaritmo neperiano de dicha resistencia. Representaremos dos rectas, la primera \(Ln[R]\) frente a \(1/T\) y la segunda \(Ln[R]-\frac{3}{2}Ln[\frac{T_0}{T}]\) frente a \(1/T\). De las pendientes de las mismas obtendremos \(b_{1}\) y \(b_{2}\) de dónde podemos sacar dos valores para el GAP del semiconductor intrínseco bajo estudio.
Resultados
En esta sección se propone el esquema a seguir para presentar los resultados:
- Seleccionar un semiconductor del desplegable
- Elegir un valor para \(V_{DD}\) y para \(R_D\)
- Iniciar la simulación
- Anotar los valores de corriente y voltaje para diferentes temperaturas
- Completar los cálculos de la resistencia en una tabla
- Representar las rectas
- Calcular el valor del gap a partir de las pendientes
- Establecer las conclusiones pertinentes acerca de las medidas y de los valores obtenidos a partir de \(b_{1}\) y de \(b_{2}\)
- Repetir las medidas para otro valor de \(V_{DD}\) y de \(R_D\).
- Repetir las medidas para otro semiconductor. Comentar los resultados obtenidos para el gap comparándolos con los de la tabla de datos de semiconductores.
- Los niveles de corriente para cada semicondutor son diferentes. Comenta que consecuencias tendría en las medidas reales.
- En un caso de medidas reales, debido a que tendríamos la influencia de otros factores, razona:
- Pensando en posibles defectos y/o dislocaciones del semiconductor, ¿qué rango de temperaturas sería el más adecuado para realizar el ajuste?
- Qué papel juega \(R_{0}\) en el modelo, ¿hemos realizado alguna aproximación?