Medida de la relación carga/masa: deflexión eléctrica

En la página medida de la relación carga/masa: trayectoria circular hemos visto el fundamento teórico del experimento de Thomson que permitió determinar la relación \(e/m\) del electrón. En esta página vamos a ver cómo podemos determinar esta relación bajo dos condiciones diferentes a las hasta ahora estudiadas: en primer lugar, suponiendo que no conocemos el potencial de aceleración, y en segundo lugar, obteniendo la relación carga/masa mediante la desviación del haz gracias a un campo eléctrico.

En primer lugar, para conocer la velocidad del haz de electrones vamos a utilizar la técnica del filtro de velocidades, que consiste en aplicar de manera simultánea un campo eléctrico y un campo magnético que produzcan fuerzas en sentidos opuestos (en la dirección perpendicular al movimiento del electrón), de modo que ambas fuerzas se compensen y el electrón siga una trayectoria recta. La fuerza ejercida por un campo eléctrico \(\overrightarrow{E}\)es igual a:

$$\overrightarrow{F_E} = -e \overrightarrow{E}$$

Igualándola en módulo con la fuerza de Lorentz, tendremos:

$$e\overrightarrow{E} = e |\overrightarrow{v}||\overrightarrow{B}|$$

De donde podemos concluir que el módulo de la velocidad viene dado por:

$$|\overrightarrow{v}| = \frac{|\overrightarrow{E}|}{|\overrightarrow{B}|}$$

Una vez conocida la velocidad de los electrones (o en su defecto, el potencial acelerador), podemos determinar la relación carga/masa a partir de la deflexión del haz de electrones mediante un campo eléctrico.

Supongamos que tenemos dos placas metálicas paralelas de longitud \(L\), separadas una distancia \(h\). Vamos a aplicar entre esas placas una diferencia de potencial igual a \(U_D\), colocando el terminal + en la placa superior y el negativo en la inferior. En esas condiciones entre las placas aparece un campo eléctrico \(E=\frac{U_D}{h}\), con sentido de arriba hacia abajo. Si ahora un electrón con velocidad \(\overrightarrow{v_0}\) en la dirección horizontal atraviesa el espacio entre las placas, sufrirá una fuerza igual a:

$$\overrightarrow{F_D} = -e \overrightarrow{E} = m \overrightarrow{a}$$

En el caso que nos ocupa tendrá lugar una aceleración vertical que empujará al electrón hacia arriba (en el sentido de la fuerza), desviando su trayectoria. Una vez fuera del espacio entre las placas metálicas, el electrón seguirá una trayectoria rectilínea con velocidad constante, tanto en horizontal como en vertical. A una cierta distancia \(D\) de las placas, es posible demostrar que la desviación vertical \(d\) que sufre el electrón es igual a:

$$d = \frac{e}{m} \frac{U_D L}{h v_0^2} \left(\frac{L}{2} + D\right)$$

Conociendo por tanto la longitud de la placas, su separación, el voltaje aplicado entre ellas, la distancia desviada en vertical y el punto horizontal donde estamos midiendo esa distancia, podemos calcular la relación carga/masa del electrón si conocemos la velocidad inicial de la partícula (mediante filtro de velocidades, o si conocemos el potencial con el que ha sido acelerada).

En la siguiente gráfica se muestra una representación de esta situación de deflexión eléctrica junto con las distancias a tener en cuenta.

Montaje

En el laboratorio no disponemos de un montaje para determinar la relación carga/masa mediante deflexión eléctrica, pero si podemos utilizar la técnica del filtro de velocidades para determinar la \(|\overrightarrow{v}|\) de los electrones, y con ella, ya que conocemos el potencial acelerador, la relación carga/masa. El montaje del que disponemos en el laboratorio es el siguiente:

Al igual que en el otro montaje, se dispone de una campana de vidrio en la que se ha hecho el vacío, estando en la parte izquierda el ánodo y el cátodo que permiten generar el haz. Se dispone de una fuente para acelerar los electrones aplicando una diferencia de potencial \(U_A\) entre los dos terminales. En este caso el haz de electrones puede verse porque en el interior del tubo hay una cartulina recubierta con un compuesto fluorescente, de modo que al impactar el haz de electrones con ella se produce una luminosidad de color azulado, mostrando la trayectoria del haz.

El campo magnético se aplica mediante unas bobinas de Helmoltz, siendo en este caso el número de vueltas igual a 320 y el radio de las bobinas 68 mm. La práctica se puede realizar con las ecuaciones descritas en la página medida de la relación carga/masa: trayectoria circular, sabiendo que si llevamos el haz curvado al punto medio de la carturnia el radio de curvatura corresponde a 141.4 mm. Pero otra manera de medir la relación carga/masa es con un filtro de velocidades. En el montaje se puede aplicar simultáneamente un campo eléctrico que actúa en sentido contrario al magnético. Para crear ese campo se dispone de dos placas paralelas y separadas 8 mm, entre las cuales aplicamos una diferencia de potencial regulable mediante una fuente. De este modo, la relación \(e/m\) vendrá dada por:

$$\frac{e}{m} = \frac{|\overrightarrow{v}|^2}{2 U_A}$$

El procedimiento experimental de medida con este montaje puede verse en el siguiente vídeo:

Medida experimental de la relación carga/masa

Procedimiento y medidas: deflexión eléctrica

En el siguiente vídeo se explica el procedimiento de medida con el gráfico interactivo:

Procedimiento de medida con el gráfico interactivo

En este caso vamos a considerar que no conocemos el voltaje de aceleración \(U_A\) del haz de electrones, por lo que primero tendremos que determinar la velocidad \(v_0\) mediante un filtro de velocidades. En el gráfico interactivo disponemos de un selector que nos permite elegir entre medida de filtro de velocidad y medida de deflexión eléctrica. En primer lugar, seleccionaremos la medida de filtro de velocidades y variaremos el campo eléctrico (variando \(U_D\) y \(h\)) y el magnético hasta que la trayectoria del haz sea completamente horizontal. En este caso se está considerando que el campo magnético actúa también únicamente en la región entre placas, como el campo eléctrico, y en el resto del espacio el haz de electrones no está sometido a ninguna fuerza externa. Tomaremos medidas para varios valores (debe tenerse en cuenta que se asigna al haaz una velocidad diferente cada cada vez que se recarga la página, por lo que no deberá realizarse la recarga de la página durante todo el procedimiento de medida de \(e/m\)).

A continuación, elegiremos en el selector "deflexión eléctrica" y realizaremos varias medidas de la desviación del haz para distintos valores del campo eléctrico, variando \(U_D\) y \(h\). A partir de la representación gráfica y de las correspondientes ecuaciones, obtendremos la relación carga/masa.

• Tipo de medida

  Filtro de velocidades Deflexión eléctrica
• \(U_{D}\) (V)

\(h\) (cm)

\(B\) (mT)